Emociones desbocadas

El otro día Lía señalaba una página con una máquina que lee los pensamientos. El juego consiste en elegir un número de dos cifras y restarle sus dos cifras. Por ejemplo, si elegimos el 72, 72 - 7 - 2 = 63. Después mirar en la tabla el símbolo correspondiente para comprobar como mágicamente el programa acierta lo acierta. La clave está en que haciendo esa operación solo te puede salir un número múltiplo de 9, y lo que hace esa página es asignar a todos los múltiplos de 9 el mismo simbolito. Después Lía se preguntaba porque siempre salía un múltiplo de 9. Ahora lo veremos, y también veremos unas curiosas propiedades que todo contable conoce que tienen los múltiplos de 9 y de 11.

Para explicarlo introduciremos un poco las congruencias. Las congruencias se usan para denotar que dos números tienen el mismo resto cuando lo dividimos por un cierto número. Por ejemplo, si dividimos 32 entre 9, obtenemos el mismo resto que cuando dividimos 95 entre 9 (cinco). Para denotar que dos números son congruentes (tienen el mismo resto) usamos la siguiente notación:

En el ejemplo anterior escribiríamos:

Cuando está claro con que congruencia estamos trabajando, podemos prescindir del (mod m). Por ejemplo, asumiendo que estamos trabajando módulo 9 podríamos escribrir:

Finalmente hay un par de propiedades de congruencias que voy a usar:

Volvamos ahora al problema que planteaba Lía. ¿Por que salen múltiplos de 9? Usaremos las congruencias. Representaremos el número de dos cifras por AB.

Básicamente lo único que he hecho es representar el número en base diez. Después teniendo en cuenta que 10 es congruente con 1 módulo 9 resulta que el resultado es congruente con 0 módulo 9. Que sea congruente con 0 módulo 9 significa que da resto 0 por lo tanto se trata de un múltiplo de 9.

¿Cual es la curiosa propiedad de la que hablaba al principio? Pues que si sumamos las cifras de un múltiplo de 9, obtenemos un múltiplo de 9. Esta es una forma muy rápida de saber si un número es múltiplo de 9. Por ejemplo si consideramos el número 8474895 y sumamos sus dígitos obtenemos 45, si volvemos a sumar obtenemos 9 y por eso ya sabemos que es múltiplo de 9. Esto se debe a que si tenemos un múltiplo de 9:

Si lo representamos en base diez y teniendo en cuenta que 10 es congruente con 1 módulo 9:

Por eso la suma de los dígitos sigue siendo congruente con 0 módulo 9 (o múltiplo de 9).

Por último tenemos el 11. Para saber si un número es múltiplo de 11 basta con que la resta de los dígitos que ocupan posiciones pares de los que ocupan posiciones impares sea múltiplo de 11. Por ejemplo, el número 4021589. Si sumamos los dígitos pares obtenemos 20 los impares 9, restando obtenemos 11. La comprobación es muy parecida a lo que hemos hecho con los múltiplos de 9. Si representamos el número como antes, aplicando congruencias:

Aquí hemos tenido en cuenta que 10 es congruente con -1 módulo 11. Por lo tanto en cualquier múltiplo de 11 la resta de los términos que ocupan posición par de los que ocupan posición impar da un múltiplo de 11.

Anoche estuve cenando en un Vips con 4 amigos. Trajeron la cuenta, y eran 85€. Uno de mis amigos hizo el cálculo mentalmente y dijo que eran 17€ por persona. Después me pidió que pusiese una entrada en mi blog sobre ese cálculo, y cómo postear es gratis y hace tiempo que no escribo nada en la sección de matemáticas aquí estamos.

¿Como lo hizo? Multiplicó 15 por 5. Obtuvo 75. Le faltaban 10. Dividió 10 entre 5 que daba 2. Finalmente sumó esos 2 a los 15 consiguiendo el resultado final de 17.

Por último os pido que me perdonéis si a veces ecribí como si tuviera conociemiento.

¿Como harías la división? ¿Como se podría dividir a dios entre 3? ¿Cuanto es uno más uno? ¿Está cayendo muy bajo este blog? ¿Que pasa cuando n tiende a infinito?

Muchos os habréis planteado la pregunta de si dios existe y si es único. Hace bastante tiempo, mientras leía el libro “El enigma de Fermat” de Simon Singh leí una anecdota muy curiosa sobre Euler, Diderot y la existencia de Dios. Describamos brevemente los protagonistas de la historia.

¿Quien fue Euler? Euler es posiblemente el matemático más prolífico de la historia. En matemáticas hay una gran cantidad de teoremas que llevan su nombre, y tiene su propio número llamado “e”. Euler era creyente, lo que puede resultar curioso a muchas personas que asocian la racionalidad de un matemático con el ateismo.

¿Quien fue Diderot? Para hablar de Diderot tendré que echar mano de wikipedia. Según wikipedia, Diderot era un filósofo francés, que impulsó la creación de la segunda enciclopedia occidental, la primera en francés. Escribió muchos artículos y todo eso, y era ateo (que realmente es lo único relevante para la anécdota que voy a contar).

¿Quien fue Dios? Vaya, he escrito quien fue. Tal vez debería escribir ¿Quien es? Lo cierto es que nunca he oido que dios haya muerto. Echaremos mano otra vez de nuestra enciclopedia wikipedia (que rima y todo), para ver quien es dios, que no lo tengo demasiado claro. El artículo comienza diciendo que dios se escribe con mayúscula (lo tendré en cuenta en futuro). Me quedaré con la primera linea: “La definición más común de Dios es como ser supremo, omnipotente y creador y protector del universo y la humanidad.” Vamos, se podría decir que Dios es un tipo muy importante con quien es mejor no meterse.

Cuenta la leyenda que en el siglo XVIII, cuando Euler estaba en San Petesburgo trabajando para la corte de Catalina la Grande, hubo una visita de Diderot. Diderot era ateo y un pesado, y durante la visita predicó su ateismo por toda la corte, lo cual enfureció a Catalina. Entonces Catalina le pidió a Euler que le diese una demostración de la existencia de Dios, y Euler le dijo a Diderot “( a + b^n )/n = x , por lo tanto dios existe; refútelo! “. Diderot que no sabía nada de matemáticas no supo contestar y se fue disgutado.

Sinceramente, si hubiese sido Diderot le hubiese dicho “Usted está drogado, refútelo!”. Esta anécdota está muy extendida, pero la verdad es que huele a chamusquina. En la web de Shallit habla sobre la anécdota y comenta que Diderot había escrito sobre probabilidad, por lo tanto, sus conococimientos matemáticos no eran nulos como propone la anécdota. También comenta que posiblemente la anécdota se la inventase el matemático inglés De Morgan (1806-1871).

Como siempre, unas preguntas para finalizar:
¿Crees que dios existe? ¿Crees que la demostración de Euler es válida? ¿Harías un cambio de variable? ¿Crees que algún día conseguiremos demostrar que dios existe? ¿Te cae bien dios? ¿Escribes dios con mayúscula o con minúscula?

Hoy estrenamos la sección de matemáticas, y el tema va a ser el último teorema de Fermat.

Pierre Fermat fue un jurista francés que hizo grandes contribuciones a las matemáticas, de ahí que sea conocido como el príncipe de los aficionados matemáticos. El motivo por el cual es más famoso es por lo que se conoce como el último teorema de Fermat. Este afirma que en la ecuación

zⁿ = xⁿ + yⁿ

cuando n es mayor o igual que 3 solo existe la solución trivial. Como veis, se trata de un enunciado muy sencillo. Fermat no demostró el teorema, pero se asocia a el, porque escribió en el margen de un libro de aritmética de Diofanto lo siguiente:

Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exigitas non caperet.

Traducido al español:

Es imposible dividir un cubo en suma de dos cubos, o un bicuadrado en suma de dos bicuadrados, o en general, cualquier potencia superior a dos en dos potencias del mismo grado; he descubierto una demostración maravillosa de esta afirmación. Pero este margen es demasiado angosto para contenerla.)

¿Tenía Fermat una maravillosa demostración? Tras su muerte, Euler (posiblemente el matemático más destacado de la historia) mandó registrar la casa de Fermat para buscar la preciada demostración, y no se encontró nada. Fueron muchos los matemáticos que trataron de resolver este problema. Euler consiguió demostrarlo para el caso n igual a 3. Más adelante salieron nuevas demostraciones pero todas tenían errores. Hasta que en 1995 Andrew Wiles demostrase la conjetura de Taniyama-Shimura, que previamente se había relacionado con el teorema de Fermat. La demostración está publicada en Annals of Mathematic y ocupa 98 páginas.

Volviendo otra vez a la pregunta, hay mucha gente que piensa que creía tener una demostración pero que esta era erronea. Yo opino que no tenía una demostración, que solo tenía la conjetura, y que escribió eso en el margen como una broma. No creo que el ego de Fermat le permitiese no hacer público algo tan maravilloso como decía él.

Finalmente, me gustaría hablar sobre el libro de dios. En una clase de matemáticas de Dominios Algebráicos, un profesor comentó que había gente que decía que existía un libro de dios donde estaban todas las demostraciones, y que los matemáticos nos dedicabamos a leerlo poco a poco. Yo soy de los que opina que el libro de dios existe y es único. ¿Que demostración creéis que aparece en el libro de dios para el último teorema de Fermat? Yo sinceramente no creo que aparezca la de Andrew Wiles de 98 páginas y que solo unos pocos matemáticos pueden entender. Por eso desde aquí animo a todos a que sigamos buscando.

Finalmente, unas cuantas preguntas para que la gente haga comentarios ¿Crees que Fermat tenía la demostración? ¿Crees que puede existir una demostración más sencilla que la de A. Wiles? ¿Crees en dios, y en su libro?

Para más información recomiendo el libro El enigma de Fermat de Simon Singh.