Emociones desbocadas

El otro día Lía señalaba una página con una máquina que lee los pensamientos. El juego consiste en elegir un número de dos cifras y restarle sus dos cifras. Por ejemplo, si elegimos el 72, 72 - 7 - 2 = 63. Después mirar en la tabla el símbolo correspondiente para comprobar como mágicamente el programa acierta lo acierta. La clave está en que haciendo esa operación solo te puede salir un número múltiplo de 9, y lo que hace esa página es asignar a todos los múltiplos de 9 el mismo simbolito. Después Lía se preguntaba porque siempre salía un múltiplo de 9. Ahora lo veremos, y también veremos unas curiosas propiedades que todo contable conoce que tienen los múltiplos de 9 y de 11.

Para explicarlo introduciremos un poco las congruencias. Las congruencias se usan para denotar que dos números tienen el mismo resto cuando lo dividimos por un cierto número. Por ejemplo, si dividimos 32 entre 9, obtenemos el mismo resto que cuando dividimos 95 entre 9 (cinco). Para denotar que dos números son congruentes (tienen el mismo resto) usamos la siguiente notación:

En el ejemplo anterior escribiríamos:

Cuando está claro con que congruencia estamos trabajando, podemos prescindir del (mod m). Por ejemplo, asumiendo que estamos trabajando módulo 9 podríamos escribrir:

Finalmente hay un par de propiedades de congruencias que voy a usar:

Volvamos ahora al problema que planteaba Lía. ¿Por que salen múltiplos de 9? Usaremos las congruencias. Representaremos el número de dos cifras por AB.

Básicamente lo único que he hecho es representar el número en base diez. Después teniendo en cuenta que 10 es congruente con 1 módulo 9 resulta que el resultado es congruente con 0 módulo 9. Que sea congruente con 0 módulo 9 significa que da resto 0 por lo tanto se trata de un múltiplo de 9.

¿Cual es la curiosa propiedad de la que hablaba al principio? Pues que si sumamos las cifras de un múltiplo de 9, obtenemos un múltiplo de 9. Esta es una forma muy rápida de saber si un número es múltiplo de 9. Por ejemplo si consideramos el número 8474895 y sumamos sus dígitos obtenemos 45, si volvemos a sumar obtenemos 9 y por eso ya sabemos que es múltiplo de 9. Esto se debe a que si tenemos un múltiplo de 9:

Si lo representamos en base diez y teniendo en cuenta que 10 es congruente con 1 módulo 9:

Por eso la suma de los dígitos sigue siendo congruente con 0 módulo 9 (o múltiplo de 9).

Por último tenemos el 11. Para saber si un número es múltiplo de 11 basta con que la resta de los dígitos que ocupan posiciones pares de los que ocupan posiciones impares sea múltiplo de 11. Por ejemplo, el número 4021589. Si sumamos los dígitos pares obtenemos 20 los impares 9, restando obtenemos 11. La comprobación es muy parecida a lo que hemos hecho con los múltiplos de 9. Si representamos el número como antes, aplicando congruencias:

Aquí hemos tenido en cuenta que 10 es congruente con -1 módulo 11. Por lo tanto en cualquier múltiplo de 11 la resta de los términos que ocupan posición par de los que ocupan posición impar da un múltiplo de 11.